با استفاده از ارقام 7، 8 و 9 (و امکان تکرار آن‌ها)، می‌خواهیم بدانیم چند عدد سه رقمی می‌توان ساخت. این یک مسئله‌ی ترکیبیاتی ساده است که با اصول شمارش قابل حل است. 🤩
💡 روش اول: اصل ضرب
ساده‌ترین راه برای حل این مسئله، استفاده از اصل ضرب است. در یک عدد سه رقمی، ما سه جایگاه داریم: صدگان، دهگان و یکان. 💫
برای جایگاه صدگان، می‌توانیم یکی از ارقام 7، 8 یا 9 را انتخاب کنیم (3 انتخاب).
برای جایگاه دهگان نیز می‌توانیم یکی از ارقام 7، 8 یا 9 را انتخاب کنیم (3 انتخاب).
و برای جایگاه یکان هم همین‌طور (3 انتخاب).
بنابراین، تعداد کل اعداد سه رقمی قابل تشکیل برابر است با: 3 × 3 × 3 = 27 عدد. ✨
فرمول ریاضی
🧐 روش دوم: در نظر گرفتن حالات ممکن
می‌توانیم تمام حالات ممکن را به صورت سیستماتیک لیست کنیم. این کار برای اعداد کوچک‌تر آسان است، اما با افزایش تعداد ارقام و جایگاه‌ها، پیچیده‌تر می‌شود. 🤓
صدگان
دهگان
یکان
7
7
7
7
7
8
...
...
...
9
9
9
همانطور که می‌بینید، لیست کردن تمام حالات ممکن زمان‌بر است. اما با دقت می‌توانیم متوجه شویم که 27 حالت مختلف وجود دارد. 🥳
🤔 روش سوم: استفاده از مفهوم جایگشت با تکرار
در این روش، ما از مفهوم جایگشت با تکرار استفاده می‌کنیم. اگر n شیء داشته باشیم و بخواهیم r شیء را انتخاب کنیم (با امکان تکرار)، تعداد حالات برابر است با: 🤩
در مسئله‌ی ما، n = 3 (تعداد ارقام 7، 8 و 9) و r = 3 (تعداد جایگاه‌ها). بنابراین:
این روش به ما همان نتیجه‌ی قبلی را می‌دهد: 27 عدد سه رقمی قابل تشکیل است. 🎉
📚 توضیحات تکمیلی و اصطلاحات کلیدی 📚
اصل ضرب (Multiplication Principle): اگر یک رویداد را بتوان به m روش انجام داد و پس از آن، رویداد دیگری را بتوان به n روش انجام داد، تعداد کل روش‌های انجام هر دو رویداد برابر است با m × n.
جایگشت (Permutation): ترتیب قرارگیری اشیاء در یک مجموعه.
جایگشت با تکرار (Permutation with Repetition): حالتی از جایگشت که در آن برخی از اشیاء مشابه هستند و می‌توانند چندین بار در یک ترتیب ظاهر شوند.
ترکیب (Combination): انتخاب تعدادی از اشیاء از یک مجموعه بدون توجه به ترتیب آن‌ها.